RESUELTA LA ECUACION DE BOLTZMANN

BOLTZMANNMatemáticos de Pennsylvania han encontrado soluciones a una ecuación en 7 dimensiones de 140 años de antigüedad, que no se sabía que existía a pesar de su amplio uso en el modelado del comportamiento de gases.

El estudio, parte del trabajo histórico pero mayormente de demostraciones matemáticas, fue llevado a cabo por Philip T. Gressman y Robert M. Strain del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Pennsylvania. Las soluciones al problema de la ecuación de Boltzmann se publicaron en Proceedings of the National Academy of Sciences. Las soluciones a esta ecuación, más allá de las capacidades computacionales, describen la posición de moléculas de gas de forma probabilística y predicen la probabilidad de que una molécula resida en una posición particular y tenga un momento concreto en cualquier instante futuro.

Durante finales de la década de 1860 y 1870, los físicos James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron esta ecuación para predecir cómo los materiales gaseosos se distribuían en el espacio, y cómo respondían a cambios en aspectos como la temperatura, presión o velocidad.

La ecuación mantiene un lugar destacado en la historia debido a que modela bien el comportamiento gaseoso, y las predicciones a las que llevó se vieron respaldadas por la experimentación. A pesar de su notable salto de fe – la suposición de que los gases están hechos de moléculas, una teoría que aún tenía que lograr la aceptación pública en esa época – fue adoptada por completo. Porporcionó importantes predicciones, la más fundamental e intuitivamente natural fue que los gases tienden a un estado de equilibrio cuando no están sujetos a ningún tipo de influencia externa. Una de las visiones físicas más importantes de la ecuación es que incluso cuando el gas parece en reposo a nivel macroscópico, hay una frenética actividad molecular en forma de colisiones. Aunque estas colisiones no pueden observarse, se tienen en cuenta en la temperatura del gas.

Gressman y Strain quedaron intrigados por esta misteriosa ecuación que ilustra el comportamiento del mundo físico, aunque sus descubridores sólo pudieron encontrar soluciones para gases en perfecto equilibrio.

Usando técnicas matemáticas modernas de los campos de las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis armónico – muchas de las cuales se desarrollaron durante los últimos 5-50 años, y por tanto relativamente nuevas en las matemáticas – los matemáticos demostraron la existencia global de las soluciones clásicas y el rápido tiempo de decaimiento al equilibrio para la ecuación de Boltzmann con interacciones de largo alcance. La existencia global y el rápido decaimiento implican que la ecuación predice correctamente que las soluciones seguirán encajando con el comportamiento del sistema y no pasarán por catástrofes matemáticas tales como el colapso de la integridad de la ecuación debido a cambios menores dentro de la misma. El rápido decaimiento al equilibrio indica que el efecto de una pequeña perturbación inicial en el gas tiene una vida corta y rápidamente se hace inapreciable.

“Incluso si se asume que la ecuación tiene soluciones, es posible que las mismas lleven a una catástrofe, similar a que teóricamente es posible equilibrar una aguja sobre su punta, pero en la práctica las imperfecciones infinitesimales provocan que caiga”, dice Gressman.

El estudio también proporciona una nueva comprensión de los efectos debido a las colisiones, cuando moléculas vecinas rebotan entre sí en lugar de colisionar frontalmente. Estas colisiones de rebote resultan ser un tipo predominante de colisión para la ecuación completa de Boltzmann con interacciones de largo alcance.

“Consideramos notable que esta ecuación, derivada por Boltzmann y Maxwell en 1867 y 1872, ofrezca un ejemplo fundamental donde un rango de derivaciones fraccionales geométricas tienen lugar en un modelo físico del mundo natural”, dice Strain. “Las técnicas matemáticas necesarias para estudiar tal fenómeno sólo se desarrollaron en la era moderna”.


Fecha Original: 14 de mayo de 2010
Enlace Original

fuente en español: CIENCIA KANIJA

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